โครงงานคณิตศาสตร์

 

เรื่อง

การให้เหตุผล

 

โดย

กลุ่ม  Vitamin

ชั้น  ม.6/1

 

ภาคเรียนที่  1    ปีการศึกษา 2551

 

ครูที่ปรึกษาโครงงาน

นายสมบัติ   สัณหรัติ

 

กลุ่มสาระการเรียนรู้คณิตศาสตร์

 

 

 

คำนำ

 

                โครงงานชุดนี้เป็นส่วนหนึ่งของการศึกษาวิชาคณิตศาสตร์  การให้เหตุผลสามารถนำไปใช้ในชีวิตประจำวันได้  โดยเฉพาะการดำเนินชีวิตที่ต้องใช้เหตุผลในการตัดสินใจในหลายๆ เรื่องได้

                ถ้าทำผิดพลาดประการใดก็ขออภัยมา    ที่นี้ด้วย

                                                                               

                                                                                                                                กลุ่ม  Vitamin

 

 

 

 

 

 

สารบัญ

 

เรื่อง                                                                                                     หน้า

คำนำ

สารบัญ

1. บทคัดย่อ

2. เนื้อหาโครงงาน

                - ความเป็นมา

                - จุดประสงค์

                - กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง       

                - วิธีดำเนินงาน

                - ผลที่คาดว่าจะได้รับ

3. สรุปผลและอภิปรายผล

บรรณานุกรม

ภาคผนวก

- คณะทำงาน

แบบประเมิน

 

 

 

 

 

 

1. บทคัดย่อโครงงานคณิตศาสตร์

 

หัวข้อ  การศึกษาบทประยุกต์เกี่ยวกับการให้เหตุผล

ความเป็นมา

                คณิตศาสตร์เป็นนามธรรม ยากต่อการเข้าใจในรูปธรรม   จึงมีนักคิดหลายคนพยายามสร้างรูปธรรมเช่น สื่อต่างๆเพื่อประกอบการอธิบายให้เข้าใจตรงกัน  คณะทำงานได้ศึกษาเรื่องการให้เหตุผล มีความเห็นว่ามีประโยชน์ต่อการดำรงชีวิตประจำวันของคนเรา จึงวางแผนร่วมกันที่จะใช้สื่อและบทประยุกต์ของการนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือเพื่อการศึกษาในระดับต่อไปได้ เช่น  เมื่อเราคิดจะทำอะไร  เราก็ต้องมีเหตุผลในการทำ  บางครั้งเมื่อเกิดความทะเลาะวิวาท  เราก็ต้องใช้เหตุผลเข้าไปแก้ไขปัญหานั้น  ในเรื่องการเรียนก็สอนเหมือนกัน  เราก็จะต้องมีเหตุผลในการเรียนด้วย   ทั้งยังช่วยให้ผู้เรียนมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ด้วย คณะทำงานจึงเสนอโครงงานนี้

จุดประสงค์

      1. เพื่อศึกษาบทประยุกต์เกี่ยวกับการให้เหตุผลและสามารถนำเหตุการณ์มาแก้ไขปัญหาในชีวิตประจำวันได้

      2. เพื่อใช้สื่อและบทประยุกต์ประกอบการอธิบายจนสามารถนำไปใช้ในชีวิตได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

       1. ภาษาไทย   เรื่องการใช้ภาษาไทยและสัญลักษณ์ในการสื่อสารและสื่อความหมาย

       2. คณิตศาสตร์ เรื่องการให้เหตุผล

       3. สังคมศึกษา  เรื่อง  การสร้างมนุษยสัมพันธ์กับคนทั่วไปในการสอบถามข้อมูล

วิธีการดำเนิน

     1. คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันบันทึกลงตัวร่างบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

      2. คณะทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลเนื้อหาสาระและบทประยุกต์ที่เกี่ยวข้องจากแหล่งข้อมูลต่างๆ
เช่น ห้องสมุด  สื่อและสิ่งพิมพ์รวมทั้งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต บันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรฟ์

      3. คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ ร่วมกันเลือกสรรหรือสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  แล้วเสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน

      4. คณะทำงานนำเสนอโครงงานต่อที่ประชุมในห้อง  ตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์และให้ครู  เพื่อน และผู้ปกครอง ประเมินผลการทำโครงงานของคณะทำงาน 

     5. คณะทำงานจัดพิมพ์ข้อมูลเอกสารโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ จำนวน 1 เล่ม     นำส่งครู  ที่ปรึกษาโครงงาน    รวมทั้งบันทึกข้อมูลทั้งหมดลงในแฟลชไดรฟ์ อัพโหลดขึ้นบนเว็บของ ร.ร 

 

ผลที่คาดว่าจะได้รับ

      1. สามารถอธิบายเนื้อหาสาระและบทประยุกต์เกี่ยวกับการให้เหตุผลได้

      2. สามารถใช้สื่อและบทประยุกต์ประกอบการอธิบายจนสามารถนำไปใช้ในชีวิตได้

ผลการศึกษา

                จากการศึกษาโครงงานเรื่องนี้  ทำให้มีความรู้ความเข้าใจในเรื่องการให้เหตุผลมากขึ้น  สามารถนำเรื่องการให้เหตุผลมาประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้  และสามารถเข้าใจในหลักการแก้ปัญหาโดยคณิตศาสตร์ได้

สรุปผล

                มีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับการให้เหตุผลมากขึ้น  และสามารถนำการให้เหตุผลมาประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้

 

 

 

 

 

 

2. เนื้อหา

ความเป็นมา

                คณิตศาสตร์เป็นนามธรรม ยากต่อการเข้าใจในรูปธรรม   จึงมีนักคิดหลายคนพยายามสร้างรูปธรรมเช่น สื่อต่างๆเพื่อประกอบการอธิบายให้เข้าใจตรงกัน  คณะทำงานได้ศึกษาเรื่องการให้เหตุผล มีความเห็นว่ามีประโยชน์ต่อการดำรงชีวิตประจำวันของคนเรา จึงวางแผนร่วมกันที่จะใช้สื่อและบทประยุกต์ของการนำเรื่องนี้ไปประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันหรือเพื่อการศึกษาในระดับต่อไปได้ เช่น  เมื่อเราคิดจะทำอะไร  เราก็ต้องมีเหตุผลในการทำ  บางครั้งเมื่อเกิดความทะเลาะวิวาท  เราก็ต้องใช้เหตุผลเข้าไปแก้ไขปัญหานั้น  ในเรื่องการเรียนก็สอนเหมือนกัน  เราก็จะต้องมีเหตุผลในการเรียนด้วย   ทั้งยังช่วยให้ผู้เรียนมีเจตคติที่ดีต่อวิชาคณิตศาสตร์ด้วย คณะทำงานจึงเสนอโครงงานนี้

จุดประสงค์

      1. เพื่อศึกษาบทประยุกต์เกี่ยวกับการให้เหตุผลและสามารถนำเหตุการณ์มาแก้ไขปัญหาในชีวิตประจำวันได้

      2. เพื่อใช้สื่อและบทประยุกต์ประกอบการอธิบายจนสามารถนำไปใช้ในชีวิตได้

กลุ่มสาระที่เกี่ยวข้อง

       1. ภาษาไทย   เรื่องการใช้ภาษาไทยและสัญลักษณ์ในการสื่อสารและสื่อความหมาย

       2. คณิตศาสตร์ เรื่องการให้เหตุผล

       3. สังคมศึกษา  เรื่อง  การสร้างมนุษยสัมพันธ์กับคนทั่วไปในการสอบถามข้อมูล

วิธีการดำเนิน

     1. คณะทำงานประชุมเพื่อปรึกษาและวางแผนร่วมกันบันทึกลงตัวร่างบทคัดย่อโครงงานเสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงานเพื่อตรวจสอบความถูกต้องก่อนลงมือดำเนินงาน

      2. คณะทำงานเก็บรวบรวมข้อมูลเนื้อหาสาระและบทประยุกต์ที่เกี่ยวข้องจากแหล่งข้อมูลต่างๆ
เช่น ห้องสมุด  สื่อและสิ่งพิมพ์รวมทั้งข้อมูลทางอินเทอร์เน็ต บันทึกข้อมูลลงแฟลชไดรฟ์

      3. คณะทำงานประชุมเพื่อตรวจสอบความถูกต้องของข้อมูลที่เก็บรวบรวมได้ ร่วมกันเลือกสรรหรือสร้างสื่อที่จำเป็นประกอบการนำเสนอโครงงาน  แล้วเสนอต่อครูที่ปรึกษาโครงงาน

      4. คณะทำงานนำเสนอโครงงานต่อที่ประชุมในห้อง  ตอบข้อซักถามความคิดเห็นเป็นที่ประจักษ์และให้ครู  เพื่อน และผู้ปกครอง ประเมินผลการทำโครงงานของคณะทำงาน 

     5. คณะทำงานจัดพิมพ์ข้อมูลเอกสารโครงงานและสื่อประกอบต่างๆ จำนวน 1 เล่ม     นำส่งครู  ที่ปรึกษาโครงงาน    รวมทั้งบันทึกข้อมูลทั้งหมดลงในแฟลชไดรฟ์ อัพโหลดขึ้นบนเว็บของ ร.ร 

 

 

 

ตารางดำเนินงาน

วัน เดือน ปี

รายการ

ผู้รับผิดชอบ

สัปดาห์ที่ 1

ประชุมเพื่อปรึกษาเรื่อง หัวข้อโครงงาน และจัดทำบทคัดย่อ  เสนอครู

คณะทำงาน

สัปดาห์ที่ 2

เก็บรวบรวมข้อมูลจากแหล่งต่าง ๆ

-          สื่อสิ่งพิมพ์

-          อินเตอร์เน็ต

คณะทำงาน

สัปดาห์ที่ 3

ประชุมเพื่อวิเคราะห์และเรียบเรียงข้อมูล

คณะทำงาน

สัปดาห์ที่ 4

จัดพิมพ์สื่อเพื่อนำเสนอครู

คณะทำงาน

สัปดาห์ที่ 5

นำเสนอโครงงานต่อครูและเพื่อน ๆ ในห้อง

-          หัวข้อที่ 1 บทคัดย่อ

-          หัวข้อที่ 2 เนื้อหาโครงงาน

 

 

-     สรุปผลและอภิปรายผล

 

นางสาวชนากานต์   ตาลวงษ์

นางสาวสุวารี           แก้วบุปผา

นางสาวกัลยรัตน์      ยิงรัมย์

นางสาวภัสราภรณ์   ศรแก้ว

นางสาวกชกร          วีรวิทย์พร

สัปดาห์ที่ 6

จัดทำรูปเล่มส่งครู

คณะทำงาน

 

ผลการศึกษา  ดังนี้

 

การให้เหตุผล  (Reasoning)

โครงสร้างคณิตศาสตร์และรูปแบบการให้เหตุผล

คณิตศาสตร์  ประกอบด้วยส่วนประกอบที่สำคัญ 4 ส่วน คือ อนิยาม นิยาม สัจพจน์และทฤษฎีบท

1. อนิยาม (Undefined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการตกลงกันว่าไม่ต้องให้ความหมาย หรือคำจำกัดความ แต่เข้าใจตรงกันเป็นสากล

2. บทนิยาม (Defined Terms) หมายถึง คำหรือข้อความที่มีการให้ความหมายหรือคำจำกัดความไว้อย่างชัดเจน เพื่อทุกคนจะได้มีความเข้าใจที่ตรงกัน

3. สัจพจน์ (Axiom / postulate) หมายถึง ข้อความที่ตกลงกันและยอมรับว่าเป็นความจริงโดยไม่ต้องพิสูจน์ และนำไปอ้างเพื่อการพิสูจน์ข้อความอื่นว่าเป็นความจริงได้

4. ทฤษฎีบท (Theorem) หมายถึง ข้อความที่ยอมรับว่าเป็นความจริงโดยที่ข้อความเหล่านี้ได้มีการพิสูจน์โดยอาศัยจากทฤษฎีบท นิยาม สัจพจน์ และวิธีการอย่างมีเหตุผล และข้อพิสูจน์นั้นเป็นการอ้างเหตุผลที่สมเหตุสมผล

 

แผนภาพแสดงความสัมพันธ์ระบบคณิตศาสตร์

 

 

 

 

การอ้างเหตุผล

การอ้างเหตุผล (Arguments) เป็นกระบวนการคิดของมนุษย์ และสื่อความหมายกับผู้อื่นด้วยภาษา ซึ่งจะประกอบด้วยข้อวาม หรือ ประโยคกลุ่มหนึ่งที่ยกขึ้นมาเพื่อสนับสนุนให้ได้ข้อความ หรือประโยคที่ตามมาเรียกข้อความกลุ่มแรกว่า ข้ออ้าง หรือ ข้อตั้ง (Premises) และเรียกข้อความที่

ตามมาว่า ข้อสรุป หรือข้อยุติ (Conclusion)    เช่น

 เหตุ        สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องการอาหาร

แบคทีเรียเป็นสิ่งมีชีวิต (เรียกว่า ข้ออ้าง)

ผล           แบคทีเรียต้องการอาหาร (เรียกว่า ข้อสรุป)

ข้อความแต่ละข้อความของการอ้างเหตุผล จะอยู่ในรูปข้อความที่แสดงความคิดเห็น  เพื่อเป็นการยืนยัน หรือปฏิเสธ และมีค่าเป็นจริง (True) หรือ เท็จ (False) อย่างหนึ่งอย่างใด ซึ่งแต่ละข้อความ จะประกอบด้วยภาคประธาน และภาคแสดง เรียกข้อความที่มีโครงสร้างดังกล่าวว่า ข้อความเชิงตรรก (Logical Statements) ภาคประธาน และภาคแสดง ในข้อความเชิงตรรกนี้ จะเรียกว่า พจน์ (terms)    ถ้าภาคประธานในข้อความเชิงตรรกเป็นพจน์ที่มีความหมายกินความเพียงหน่วยเดียว

จะเรียกข้อความนั้นว่า ข้อความเอกพจน์ (Singular statements) และถ้าภาคประธานเป็นพจน์ที่มีความหมายกินความตั้งแต่หนึ่งหน่วยขึ้นไป โดยมีคำที่แสดงถึงปริมาณขยาย จะเรียก ข้อความนั้นว่า ข้อความบ่งปริมาณ (Quantified Statements)   เช่น 

 “1 เป็นจำนวนเต็ม” เป็นข้อความเชิงเอกพจน์

“จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ” เป็นข้อความบ่งปริมาณ

 

รูปแบบการให้เหตุผล

มนุษย์เรารู้จักการให้เหตุผลมาแต่ช้านานแล้ว เพื่อเป็นการสนับสนุนความเชื่อหรือหาความจริงหรือข้อสรุปในเรื่องใดเรื่องหนึ่งมาตั้งแต่ครั้งโบราณ การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ที่ สำคัญ มีอยู่ 2 วิธี ได้แก่

1) การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Inductive Reasoning)

2) การให้เหตุผลแบบนิรนัย (Deductive Reasoning)

การอ้างเหตุผลทั้งสองวิธีแตกต่างกัน โดยสามารถพิจารณาการอ้างเหตุผลง่ายๆ ดังนี้

ตัวอย่าง 1             เนื่องจาก นักเรียนไทยเป็นคนเก่ง และ นพวรรณเป็นนักเรียนไทย

ฉะนั้นจึงสรุปได้ว่า นพวรรณเป็นคนเก่ง

ตัวอย่าง 2             ด้วยเหตุที่ว่า พนักงานในบริษัท ส แต่ละคนที่เคยรู้จักมาเป็นคนเรียบร้อย

ดังนั้น จึงเชื่อได้ว่า พนักงานในบริษัท ส ทุกคนเป็นคนเรียบร้อยด้วย

 

ตัวอย่าง 3             ถ้า ตะวันนาเป็นนักเรียน แล้ว ตะวันนาเป็นคนดี และ ตะวันนาเป็นนักเรียนจริง

ดังนั้น ตะวันนาจึงต้องเป็นคนดี

ตัวอย่าง 4             จากการสำรวจครูในโรงเรียนแห่งหนึ่ง บางส่วน พบว่า

ครูก้อย เป็นครูในโรงเรียนแห่งนั้น และเป็นคนหน้าตาดี

ครูแก้ว เป็นครูในโรงเรียนแห่งนั้น และก็เป็นคนหน้าตาดี

ครูเก้า ก็เป็นครูในโรงเรียนแห่งนั้น

จึงอาจสรุปได้ว่า ครูเก้าก็น่าจะเป็นคนหน้าตาดีด้วย

จากตัวอย่างการอ้างเหตุผลข้างต้น จะพบว่า ตัวอย่างที่ 1 และ 3 มีข้อสรุปตามมาจากข้ออ้างที่กำหนด ซึ่งมีเนื้อหาสาระอยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้าง ดังนั้นเราจึงสามารถหา ข้อสรุปได้อย่างแน่นอน (Certainly conclusion)  แต่จากตัวอย่าง 2 และ 4 นั้น มีเนื้อหาสาระเกินขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด ซึ่ง การหาข้อสรุปนั้นจะเป็นการใช้ความน่าจะเป็น (Probable conclusion)  การอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามมานี้เนื้อหาสาระอยู่ภายในขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด เรียกว่า “การอ้างเหตุผลโดยวิธีนิรนัย” และการอ้างเหตุผลที่มีข้อสรุปตามมามีเนื้อหาสาระ เกินขอบเขตของข้ออ้างที่กำหนด จะเรียกว่า “การอ้างเหตุผลโดยวิธีอุปนัย”

พอจะสรุปวิธีการอ้างเหตุผลได้เป็น 2 แบบ ดังนี้

1. การให้เหตุผลแบบอุปนัย

การให้เหตุผลแบบนี้เป็นการสรุปผลโดยใช้ประสบการณ์ หรือใช้เหตุการณ์เฉพาะ ซึ่ง

เกิดขึ้นซ้ำๆ กันหลายๆ ครั้งมาคาดคะเนผลสรุป หรือสรุปเป็นกฎเกณฑ์ทั่วไป ผลสรุปที่ได้อาจ

เป็นจริงหรือเท็จก็ได้ 

2. การให้เหตุผลแบบนิรนัย

เป็นการให้เหตุผลที่อ้างว่าสิ่งที่กำหนดให้ยืนยันผลสรุป โดยกำหนดให้เหตุ (หรือข้อ

สมมติ) เป็นจริง หรือยอมรับว่าเป็นจริง แล้วใช้กฎเกณฑ์ต่างๆ สรุปผลจากเหตุที่กำหนดให้

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

แบบฝึกหัดที่ 1

 

1.จงทำเครื่องหมาย 􀀹 ลงในช่องให้ตรงกับข้อความที่กำหนดให้ในแต่ละข้อ

 

 

ข้อ

 

คำหรือข้อความ

อนิยาม

 

นิยาม

 

สัจพจน์

 

ทฤษฎีบท

 

1

จุด

 

 

 

 

2

สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องตาย

 

 

 

 

3

กติกาฟุตบอลคือ มีผู้เล่นทีมละไม่เกิน 11 คน

 

 

 

 

4

เส้นตรง

 

 

 

 

5

คนเราเกิดมาย่อมมี เกิด แก่ เจ็บ ตาย

 

 

 

 

6

มุมฉากคือมุมที่มีขนาด 90 องศา

 

 

 

 

7

ดวงอาทิตย์ขึ้นทางทิศตะวันออกเสมอ

 

 

 

 

8

เส้นตรง 2 เส้นตัดกันที่จุด ๆเดียว

 

 

 

 

9

รูปสี่เหลี่ยมจัตุรัส คือรูปสี่เหลี่ยมที่มีด้านเท่ากัน 4 ด้าน และมุมทุกมุมเป็นมุมฉาก

 

 

 

 

10

รัศมีของวงกลมวงเดียวกันมีขนาดเท่ากัน

 

 

 

 

11

ดิน น้ำ ลม ไฟ

 

 

 

 

12

ในวงกลมใด ๆ มุมที่จุดศูนย์กลางย่อมมีขนาดเป็น 2 เท่าของมุมที่เส้นรอบวงที่รองรับด้วยส่วนโค้งเดียวกัน

 

 

 

 

13

ในสามเหลี่ยมมุมฉากใดๆ กำลังสองของด้านตรงข้ามมุมฉากจะเท่ากับผลบวกของกำลังสองของด้านประกอบมุมฉาก

 

 

 

 

14

สามเหลี่ยมด้านเท่า คือ สามเหลี่ยมที่มีด้านยาวเท่ากัน 3 ด้าน

 

 

 

 

15

มุมฉากทุกมุมมีขนาดเท่ากัน

 

 

 

 

16

มุมในครึ่งวงกลมใด ๆ ย่อมเป็นมุมฉาก

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

การให้เหตุผลแบบอุปนัย

นักวิทยาศาสตร์ชอบค้นหาความจริงในธรรมชาติ โดยจะเริ่มสังเกตธรรมชาติก่อนและจะเชื่อเมื่อได้ทดสอบหลาย ๆ ครั้งจนมั่นใจ ในขณะที่สังเกตหรือทดสอบ นักวิทยาศาสตร์ อาจค้นพบข้อเท็จจริงใหม่ ๆ ที่ตนไม่เคยพบมาก่อน และจะนำข้อเท็จจริงใหม่ ๆ เหล่านี้มาพิจารณาหาความสัมพันธ์กับข้อเท็จจริงเดิมที่มีอยู่ก่อน เมื่อผ่านขั้นการทดลองแล้วนักวิทยาศาสตร์อาจจะประมวลสรุปเป็นความรู้ในรูปทั่ว ๆ ไป เพื่อใช้อธิบายปรากฏการณ์ทางธรรมชาติต่อไป วิธีการสรุปผลค้นหาความจริงจากการสังเกตหรือทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อย ๆแล้วสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไปเช่นนี้ เราเรียกว่า การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Deductive Reasoning) ปัจจุบันได้พัฒนามาเป็นระเบียบวิธีทางวิทยาศาสตร์ (Scientific Method)  ความรู้ที่ได้มาด้วยวิธีการดังกล่าว หากมีผู้พบว่าไม่เป็นไปตามที่สรุปไว้ นักวิทยาศาสตร์จะพยายามเปลี่ยนหรือแก้ไขข้อสรุปเดิม เพื่อให้ได้ข้อสรุปใหม่ที่เหมาะสมกว่า และถ้าหากว่าข้อสรุปนั้นสอดคล้องกับทุกกรณีที่เป็นไปได้ และอาจใช้พยากรณ์ข้อเท็จจริงอื่น ๆ ได้อีก ข้อสรุปนั้นจะกลายเป็นกฎหรือทฤษฎี กฎหรือทฤษฎีนั้นอาจมีการเปลี่ยนแปลงได้อีก ถ้ามีผู้พบข้อเท็จจริงใหม่ที่ขัดแย้งกับข้อที่ได้ตั้งไว้แล้ว ซึ่งสอดคล้องกับระบบคณิตศาสตร์ในทางคณิตศาสตร์   มีการใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยเพื่อช่วยสรุปคำตอบ หรือช่วย

ในการแก้ปัญหา เช่น รูปแบบของจำนวน 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 เราสามารถหาจำนวนนับถัดจาก 10 อีก 5 จำนวน โดยสังเกตจากรูปแบบของจำนวน 1 – 10 พบว่า มีค่า เพิ่มขึ้นทีละหนึ่ง ดังนั้น จำนวนอีก 5 จำนวนก็จะเป็น 11, 12, 13, 14 และ 15 จำนวน 5จำนวนดังกล่าว จึงเป็นตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

นิยาม การให้เหตุผลแบบอุปนัย (Deductive Reasoning) หมายถึง วิธีการสรุปผลการค้นหาความจริงจากการสังเกต หรือการทดลองหลายครั้งจากกรณีย่อย ๆ แล้วนำมาสรุปเป็นความรู้แบบทั่วไป

 

ตัวอย่างการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. ที่ถนนเจริญประเทศ จังหวัดเชียงใหม่ สมพงษ์ลองสังเกตดูว่าเมื่อวานรถติด วันนี้รถก็ติด พรุ่งนี้รถน่าจะติด

2. กอล์ฟพบว่า ไข่เป็ดที่คุณแม่ซื้อมามีสีขาวทุกใบ จึงสรุปว่า ไข่เป็ดมีสีขาว

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 1 จงสังเกตรูปแบบในการดำเนินการของจำนวนต่อไปนี้ แล้วหาคำตอบที่ถัดไป

1.1 (1 + 1) × 1 = 2

(1 + 2) × 2 = 4

(1 + 3) × 3 = 12

………..…………………. = ……………..

1.2 9 × 9 = 81

99 × 9 = 891

999 × 9 = 8991

………..…………………. = ……………..

 

ตัวอย่างที่ 2 จงหาว่า ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคู่หรือจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย

วิธีทำ เราจะลองหาผลคูณของจำนวนนับที่เป็นจำนวนคี่หลาย ๆ จำนวนดังนี้

 

1 × 3 = 3

3 × 5 = 15

5 × 7 = 35

7 × 9 = 63

1 × 5 = 5

3 × 7 = 21

5 × 9 = 45

7 × 11 = 77

1 × 7 = 7

3 × 9 = 27

5 × 11 = 55

7 × 13 = 91

1 × 9 = 9

3 × 11 = 33

5 × 13 = 65

7 × 15 = 105

 

จากการหาผลคูณดังกล่าว โดยการอุปนัย จะพบว่า ผลคูณที่ได้เป็นจำนวนคี่   สรุป ผลคูณของจำนวนนับสองจำนวนที่เป็นจำนวนคี่ จะเป็นจำนวนคี่ โดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย

 

ตัวอย่างที่ 3 จงหาพจน์ที่อยู่ถัดไปอีก 3 พจน์

1) 1, 3, 5, 7, 9, ...

2) 2, 4, 8, 16, 32, ...

วิธีทำ      1) จากการสังเกต พบว่า แต่ละพจน์มีผลต่างอยู่ 2  (3 – 1 = 2, 5 – 3 = 2 , 9 - 7 = 2) ดังนั้น อีก 3 จำนวน คือ 11, 13, 15

2) จากการสังเกต พบว่า แต่ละพจน์จะมีการไล่ลำดับขึ้นไป ถ้าลองสังเกตดู จะอยู่ในรูปแบบ 2×2n โดยที่ n เป็นจำนวนเต็มบวกที่เริ่มตั้งแต่ 0 ดังนั้น พจน์ที่ 6 คือ 2×25 = 64, พจน์ที่ 7 คือ 128 และพจน์ที่ 8 คือ 256หรืออาจมองในอีกแง่หนึ่ง เราจะพบว่า จำนวนแต่ละจำนวนจะเพิ่มขึ้นเรื่อย ๆ 2 เท่าก็ได้

 

ข้อสังเกตการให้เหตุผลแบบอุปนัย

1. จำนวนข้อมูลที่ได้มาอ้างอิง อาจไม่เพียงพอกับการตั้งข้อสรุป เช่น ถ้าไปทานส้มตำที่ร้านอาหารแห่งหนึ่งแล้วท้องเสีย แล้วสรุปว่า ส้มตำนั้นทำให้ท้องเสีย การสรุปเหตุการณ์นั้นอาจเกิดขึ้นเพียงครั้งเดียว ย่อมเชื่อถือได้น้อยกว่าการที่ไปรับประทานส้มตำบ่อย ๆ แล้วท้องเสียเกือบทุกครั้ง

2. จากข้อมูลเดียวกัน หากผู้สรุปคิดต่างกัน อาจได้ข้อสรุปที่ไม่ตรงกัน

3. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย บางครั้งขึ้นอยู่กับประสบการณ์ของผู้สรุป

4. การสรุปโดยการให้เหตุผลแบบอุปนัย แม้ว่าได้สังเกตหรือทดลองหลายครั้งแล้ว แต่อาจเกิดข้อผิดพลาดก็ได้

 

แบบฝึกหัดที่ 2

1. จงหาพจน์ที่อยู่ถัดไปอีก 3 พจน์

1) 1 , 3 , 9 , 27 , …

2) 1 , 6 , 3 , 4 , 5 , 2 , …

3) 3 , 6 , 12 , …

4) 1, 6, 11, 16, …

5) 1, 4, 9, 16, 25, …

2. จงพิจารณาผลคูณต่อไปนี้

37 × 3 = 111

37 × 6 = 222

37 × 9 = 333

37 × 12 = 444

1. จงหาข้อสังเกตของผลคูณข้างต้น

2. จงใช้หลักการอุปนัยในการหาผลคูณที่เท่ากับ 555, 666, 777, 888, 999

3. จงหาสมการถัดไป จากแบบรูปที่กำหนดให้โดยใช้หลักการอุปนัย แล้วตรวจสอบโดยการคำนวณ

9 × 9 + 7 = 88

98 × 9 + 6 = 888

987 × 9 + 5 = 8,888

9,876 × 9 + 4 = 88,888

…………………………… = …………………..

 

 

 

4. พิจารณาการหากำลังสองของจำนวนที่ลงท้ายด้วย 5

 

และ จงหาจำนวนค่าของจำนวนต่อไปนี้ โดยใช้หลักการอุปนัย

1. 852                                      2. 952                                      3. 1052                                   4. 3952

 

5. พิจารณาการหาเศษที่ตัวหารคือ 9

 

และ จงใช้หลักการอุปนัยในการสรุปข้อสังเกตดังกล่าว

 

 

6. มีเรื่องเล่าขานว่า คาร์ล ฟรีดริช เกาส์ (Carl Fruedrich Gauss, .. 1777 – 1855) ซึ่งเป็นนักคณิตศาสตร์ผู้ยิ่งใหญ่ชาวเยอรมัน เมื่อท่านได้อายุประมาณ 10 ปี ในชั้นเรียนของท่านได้ถูกครูทำโทษด้วยการให้หาผลบวกที่ดูเหมือนจะยุ่งยากเกินอายุเด็ก ๆ ในวัยท่าน คือ

1 + 2 + 3 + 4 + 5 + ... + 98 + 99 + 100 ในขณะที่เด็กคนอื่นๆ พยายามนำตัวเลขมาบวกกันทีละตัว ๆ เด็กชายเกาส์ได้เห็นความสมมาตรในตัวเลขโดยได้นำ 1 มาจับคู่กันกับ 100 นำ 2 มาจับคู่กันกับ 99 นำ 3 มาจับคู่กันกับ 98 จนครบ 50 คู่ โดยที่แต่ละคู่มีผลบวกเป็น 101 ทำให้เกาส์เป็นนักเรียนคนเดียวที่ให้คำตอบว่า ผลบวกเท่ากับ (50)(101) = 5050 และปัจจุบัน มีผู้นำเทคนิคดังกล่าวไปประยุกต์ในหลายๆ เรื่อง เรียกเทคนิคนี้ว่า “เครื่องมือการจับคู่แบบเกาส์ (Gaussian Pairing Tool)”

 

จงใช้เครื่องมือนี้ในกาหาผลบวกของจำนวนต่อไปนี้

1) 1 + 2 + 3 + ... + 150

2) 1 + 2 + 3 + ... + 1,000

7. จากเครื่องมือของเกาส์ จงหาผลบวกต่อไปนี้

1) 2 + 4 + 6 + 8 + .. + 100

2) 1 + 2 + 3 + ... + n

8. ถ้านำสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ จากการยกกำลัง (a + b)n มาเขียนดังนี้

(a + b)1 = a + b 1 1

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2 1 2 1

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 1 3 3 1

(a + b)4 = a4 + 4a3b + 6a2b2 + 4ab3 + b4 1 4 6 4 1

ขอให้สังเกตตัวเลขข้างใต้ระหว่างเลขสองตัวที่อยู่ถัดกัน เช่น 6 อยู่ระหว่าง 3 กับ 3 จะเห็นว่า 3 + 3 = 6 ถ้าสังเกตตัวเลขอื่นๆ ก็จะเป็นเช่นเดียวกัน เช่น 3 = 1 + 2, 4 = 1 + 3 ทำนองเดียวกัน ก็สามารถหาสัมประสิทธิ์ของพจน์ต่างๆ จาก (a + b)5 แล้วนำมาเขียนใต้บรรทัด “1 4 6 6  เราเรียกว่า ทฤษฎีบททวินาม (Binomial Theorem / Binomial Expansion) และเรียกสัมประสิทธิ์จาก

การกระจายพจน์ว่า สัมประสิทธิ์ทวินาม (Binomial Coefficient) นำสัมประสิทธิ์ทวินามมาเขียนเป็นรูปสามเหลี่ยม เรียกว่า สามเหลี่ยมปาสคาล (Pascal Triangle)

จากทฤษฎีบททวินาม จงหา

1. สัมประสิทธิ์ทั้งหมดที่ได้จากการกระจายพจน์ (a + b)5, (a + b)8

2. ค่าของ (a + b)8, (a + b)10

 

 

 

9. เซต S มีสมาชิก 1 ตัว มีจำนวนสับเซตของ S เท่ากับ 2 เซต

เซต S มีสมาชิก 2 ตัว มีจำนวนสับเซตของ S เท่ากับ 4 เซต

เซต S มีสมาชิก 3 ตัว มีจำนวนสับเซตของ S เท่ากับ 8 เซต

.

.

.

เซต S มีสมาชิก n ตัว มีจำนวนสับเซตของ S เท่ากับกี่เซต

 

ความสัมพันธ์เวียนเกิด

ความสัมพันธ์เวียนเกิด (Recurrence Relation) เป็นการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น แล้ว จะมีเงื่อนไขถัดไปที่มีการใช้เงื่อนไขเริ่มต้นในการกำหนดผลที่ได้จากความสัมพันธ์นั้นๆ ซึ่งใช้การให้เหตุผลแบบอุปนัยรูปแบบหนึ่ง เพราะเป็นการนำหลักการ ความรู้หรือสิ่งที่มีอยู่ ไปสรุปในข้อตั้งต่อไป ซึ่งจะมีประโยชน์ในการศึกษาคณิตศาสตร์ขั้นสูงต่อไป โดยจะมีการกำหนดเงื่อนไขเริ่มต้น (Initial Condition) และ เงื่อนไขเวียนเกิด (Recursive Condition) ดังตัวอย่าง

 

ตัวอย่างที่ 1 กำหนดให้ f(1) = 2 และ f(x + 1) = f(x) + 4 จงหาค่าของ f(2)  และ f(5)

วิธีทำ      ก่อนอื่น เราจะได้เงื่อนไขเริ่มต้นเป็น คือ f(1) = 2

ต้องการหาค่าของ f(2) หาได้จาก

f(1 + 1)  = f(1) + 4

f(2)         = 2 + 4                  = 6

ต้องการหาค่าของ f(5) ต้องหา  f(3),  f(4) ก่อน

f(2 + 1)  = f(2) + 4

f(3)         = 6 + 4                  = 10

f(3 + 1) = f(3) + 4

f(4)         = 10 + 4                = 14

ทำให้ได้ f(4 + 1) = f(4) + 4

f(5)         = 14 + 4                 = 18

ดังนั้น f(2) เท่ากับ 6 และ f(5) เท่ากับ 18

 

 

 

 

ตัวอย่างที่ 2          The recursive description of f is given as follows:

1. f(0) = 1 initial Condition

2. f(x + 1) = f(x) + 2 recursive condition

เราอาจเขียนรูปจาก Recurrence Relation ให้สั้นลงเป็น explicit formula ได้เป็น

f(x)            =            1 + 2x                                  explicit formula

 

ตัวอย่างที่ 3 ให้ f(0) = 3, f(x + 1) = f(x) + 5 จงหา explicit formula

วิธีทำ                                                      จาก f(0) = 3

f(x+1)    = f(x) + 5

f(x)         = 3 +...+[f(x + 1) - f(x)]

= 3 + [f(x) + 5 - f(x)]

= 3 + 5x

ดังนั้น explicit formula คือ f(x) = 3 + 5x

 

ตัวอย่างที่ 4 เมื่อวัตถุเคลื่อนที่ด้วยอัตราเร็วที่คงที่ 10 ft/s ในแนวเส้นตรงบนระบบพิกัดฉากเมื่อเวลา 0 วินาทีวัดตำแหน่งได้ -7 ให้ f(x) แทนตำแหน่งที่ x   (. เวลา) จงเขียน Recurrence Relation., explicit formula

วิธีทำ                      จากโจทย์ เราจะได้เงื่อนไขเริ่มต้น f(0) = -7

f(x + 1)                  = f(x) + 10

จะได้ Recurrence Relation เป็น f(x + 1)        = f(x) + 10

หา Explicit Formula จาก

f(x)                         = f(0) + [f(1) - f(0)] + [f(2) - f(1)] + ... [f(x + 1) – f(x)] + [f(x) - f(x-1)]

จะได้ f(x)              = - 7 + [f(0 + 1) – f(0)] + [f(1 + 1) – f(0 + 1)] + … +[f(x) + 10 – f(x)]

= - 7 + [3 – (-7)] + [3 – (-7)] + … + 10

= -7 + 10x = 10x – 7

ดังนั้น Explicit Formula คือ f(x) = 10x – 7

 

 

 

แบบฝึกหัดที่ 3

1. สปริงแขวนอย่างอิสระ จะยืดออก 11 cm ถ้าใส่ตุ้มน้ำหนัก 1 g สปริงจะยืด 2 cm ให้ f(x) แทนความยาวเมื่อยืด x  g  จงเขียน Recurrence Relation, explicit formula.

2. นายจ้างจ่ายเงินเดือน ปีที่เริ่มงานปีแรก 17,000$ และจะเพิ่มปีละ 2,000 $ ต่อปี ให้ f(x) แทนเงินเดือนแต่ละปี โดยปีที่เริ่มต้นให้เป็น 0 จงเขียน Recurrence Relation, explicit formula

3. ลูกบอลตะกั่วถูกหย่อนลงจากตึกที่มีความสูง 999 ft วินาทีที่ 1 ตกลงมา 16 ft แต่ละวินาทีต่อมาจะเป็น 32 ft ให้ f(x) แทนระยะที่ตกในวินาที x เขียน Recurrence Relation, explicit formula

4. กำหนดสถานการณ์ ให้รูปแบบของสี่เหลี่ยมจัตุรัสเป็นไปตามลำดับ

รูปแบบที่ 0 มีเพียงสี่เหลี่ยมโปร่งสีขาว          

รูปแบบที่ 1 ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส                  8 รูป

รูปแบบที่ 2 ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส                   16 รูป

รูปแบบที่ 3 ล้อมรอบด้วยสี่เหลี่ยมจัตุรัส                 32 รูป

 

 

1. ให้ f(x) แทนสี่เหลี่ยมจัตุรัสที่เป็นสีล้อมรอบ จงหา Recurrence Relation, f(10), f(100), explicit formula

2. ให้ g(x) แทนสี่เหลี่ยมจัตุรัสทั้งหมดที่เป็นสี จงหา Recurrence Relation, explicit formula

 

 

 

 

 

 

 

 

 

หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

ในการศึกษาคณิตศาสตร์นั้น บางครั้ง จะพบแบบรูปที่เกี่ยวข้องกับจำนวนเต็ม เช่น  จากการสังเกตผลบวกของจำนวนคี่

1 = 1 = 12

1 + 3 = 4 = 22

1 + 3 + 5 = 9 = 33

. . .

. . .

. . .

แล้วทำนายแบบรูปทั่วไปว่า    1 + 3 + 5 + … + (2n – 1) = n2

ซึ่งเราจะเรียกข้อความนี้ว่า ข้อความคาดการณ์ (Conjecture) เราไม่สามารถทราบได้ว่า รูปแบบที่เราได้กำหนดมาเป็นจริงหรือเท็จ หากเราตรวจสอบโดยการแทนจำนวนเต็มเข้าไปทั้งหมดจะไม่สามารถทำได้ เพราะอาจมีกรณีใดกรณีหนึ่งที่ทำให้ข้อความคาดการณ์นี้เป็นเท็จ ซึ่งเราจะต้องเสียเวลาในการแทนค่า กว่าที่จะหากรณีที่จะให้เป็นเท็จได้ ซึ่งเราจะใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ (Mathematical Induction) ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความคาดการณ์ที่กำหนดให้ไว้ หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ เป็นสัจพจน์ของเอปาโน (Peano Postulates) ข้อที่ 5

ซึ่งกล่าวว่า  “ถ้า S เป็นเซตย่อยใด ๆ ของเซตของจำนวนนับ N ซึ่งมีสมบัติดังนี้

1.     1  S และ

2.     ฃสำหรับเซตของจำนวนนับ k ถ้า k   S แล้ว k + 1  S แล้วจะได้ว่า s = N”

 

การพิสูจน์แบบอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์

 

นิยาม     กำหนดให้ N เป็นจำนวนเต็มบวก สำหรับ n  N  และ P(n) เป็นข้อความในพจน์ของ n

              ถ้า        1. P(1) เป็นจริง

                          2. ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริง

              แล้ว P(n) เป็นจริงทุกค่า n  N

 

เราทราบมาแล้วว่าการพิสูจน์โดยอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ ใช้พิสูจน์ทฤษฎีหรือสูตรทั่วไปว่าเป็นจริง ดังนั้น ค่าของ n ในทฤษฎีหรือสูตรนั้น ๆ จึงจำเป็นต้องนำมาพิจารณาเฉพาะกรณีๆไป แบ่งการพิสูจน์ออกเป็นสองขั้นเป็น

ขั้นที่ 1 กำหนดค่าของ n ซึ่งเป็นบวกมาค่าหนึ่ง แล้วจึงแสดงให้เห็นว่า ทฤษฎีหรือสูตรทั่วไปนั้น เป็นจริงสำหรับค่า n ที่กำหนดขึ้นมานั้น โดยการเอาค่าของ n ที่กำหนดขึ้นมา แทนค่าลงไปในทฤษฎีหรือสูตรทั่วไปนั้น

ขั้นที่ 2 ให้ทฤษฎีหรือสูตรนั้นเป็นจริงสำหรับค่าของ n เท่ากับ k ต่อไป เราจึงพิสูจน์ให้เห็นว่า ทฤษฎีหรือสูตรทั่วไปเป็นจริงสำหรับทุก ๆ ค่าของ n ซึ่งเท่ากับ k + 1ด้วยจากนั้น เราจึงสรุปได้ว่าทฤษฎีหรือสูตรทั่วไปนั้น เป็นจริงสำหรับทุกค่าของ n

 

ตัวอย่างที่ 1 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า

1 + 2 + 3 + … + n               =                สำหรับจำนวนเต็มบวก n ใด ๆ

วิธีทำ      ให้ P(n) แทนข้อความ

1 + 2 + 3 + … + n               =                                         ……(1)

จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง

1              =           

1              =            1

เพราฉะนั้น P(1) เป็นจริง

จะพิสูจน์ว่าถ้า P(k) จริงแล้ว P(k + 1) จะเป็นจริงด้วย

ให้ P(k) เป็นจริง

1 + 2 + 3 + … + k               =                                         ……(2)

จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง นั่นคือ

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)              =           

จาก (2) บวกด้วย  (k + 1) ทั้งสองข้าง จะได้ว่า

1 + 2 + 3 + … + k + (k + 1)              =            

=            

=            

ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริงด้วย

จาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก

 

 

 

หมายเหตุ             (1) เรียกว่า ขั้นตอนฐานหลัก และ (2) เรียกว่า ขั้นตอนอุปนัย

สรุป        จากขั้นที่ 1 เราทราบว่า ข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงสำหรับค่า n = 1 และจากขั้นที่2 เราทราบต่อไปอีกว่า ถ้าข้อความคาดการณ์นี้เป็นจริงสำหรับค่า n = k แล้ว ข้อความคาดการณ์นี้ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = k + 1 ด้วย นั่นคือ ข้อความคาดการณ์นี้จะเป็นจริงสำหรับค่า        n = 1 + 1 = 2 ด้วย ทำนองเดียวกัน ก็จะเป็นจริงสำหรับ n = 2 + 1 = 3 และไปเรื่อย ๆ นั่นคือ ถ้าขั้นตอน p(k + 1) เป็นเท็จ จะทำให้ข้อความอื่น ๆ เท็จตามไปด้วยเสมือนกับการล้มโดมิโนนั่นเอง

 

ตัวอย่างที่ 2 จงใช้อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ว่า n3 + 2n หารด้วย 3 ลงตัวสำหรับทุก ๆ ค่าของ nซึ่งเป็นบวก

วิธีทำ ให้ P(n) แทนข้อความ  

3 หารด้วย n3 + 2n ลงตัว (เขียนเป็นสัญลักษณ์ 3|n3 + 2n)                         ……(1)

จะแสดงว่า P(1) เป็นจริง

(1)3 + 2(1)           =             3             และ 3 หาร 3 ลงตัว

เพราฉะนั้น P(1) เป็นจริง

จะพิสูจน์ว่าถ้า P(k) จริงแล้ว P(k + 1) จะเป็นจริงด้วย

ให้ P(k) เป็นจริง

3|k3 + 2k                                                                                                               ……(2)

จะแสดงว่า P(k + 1) เป็นจริง นั่นคือ

3|(k + 1)3 + 2(k + 1)

พิจารณานิพจน์    (k + 1)3 + 2(k + 1)             =             (k3 + 3k2 + k + 1) + (2k + 2)

= (k3 + 2k) + (3k2 + 3k + 3)

= (k3 + 2k) + 3(k3 + k + 1)

ซึ่ง 3|(k3 + 2k) + 3(k3 + k + 1)

ดังนั้น ถ้า P(k) เป็นจริงแล้ว P(k + 1) เป็นจริงด้วย

จาก (1) และ (2) โดยวิธีอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์ สรุปได้ว่า P(n) เป็นจริงสำหรับทุกจำนวนเต็มบวก  นอกจากนี้ ยังมีการพิสูจน์อุปนัยเชิงคณิตศาสตร์อีกหลายๆ รูปแบบ แต่ในระดับนี้ จะนำเสนอเพียงเท่านี้

 

 

 

 

แบบฝึกหัดที่ 4

จงใช้หลักอุปนัยเชิงคณิตศาสตร์พิสูจน์ข้อความต่อไปนี้ เมื่อกำหนดให้ n เป็นจำนวนนับใด ๆ

1. 12 + 22 + 32 + ... + n2          =       (n +1)(2n+1)

2. 13 + 23 + 33 + ... + n3          =     ( (n +1) )2

3. 1 + 4 + 7 + ... + (3n - 2)  =      (3n – 1)

4. 1(2) + 2(3) + 3(4) + ... + n(n+1)    =      (n + 1)(n + 2)

5. +  +  + … +       =   

6.  2 | n(n+1)

7.  3 | n(n+1)(n+2)

8.  3 | n(n2 + 2)

9.  24 | (2n – 1)((2n – 1)2 – 1 )

10.  a – b | an – bn 

11. a + b | a2n – b2n

 

 

การให้เหตุผลแบบนิรนัย

 

ตรรกบท และข้อความเชิงตรรกนิรนัย

เราได้กล่าวโดยคร่าวว่า การให้เหตุผลแบบนิรนัย เป็นการนำความรู้พื้นฐาน ซึ่งอาจเป็นความเชื่อ ข้อตกลง กฎ หรือบทนิยามที่รู้กันมาก่อน และยอมรับว่าเป็นจริง เพื่อหาเหตุผลไปสู่ข้อสรุป เช่น

เหตุ        สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยง

ผล          แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

 

หลักเกณฑ์และวิธีการอ้างเหตุผลแบบนิรนัย เรียกว่า ตรรกศาสตร์นิรนัย ซึ่งสิ่งที่สำคัญในการให้เหตุผลแบบนิรนัย คือ ตรรกบท (Syllogism)

 ตรรกบทหนึ่ง ๆจะประกอบด้วยข้อความ 3 ข้อความ โดยที่ 2 ข้อความแรกเป็นข้อตั้ง และอีกข้อความหนึ่งเป็นข้อยุติ

ตรรกบท 1 ตรรกบท คือ การอ้างเหตุผลที่ประกอบด้วยพจน์ 3 พจน์ โดยมีพจน์ 2พจน์ที่มีความสัมพันธ์กับพจน์ที่ 3 ในรูปของภาคประธาน หรือภาคแสดงต่อกันด้วย

เช่น        เหตุ       สัตว์เลี้ยงทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

แมวทุกตัวเป็นสัตว์เลี้ยง

ผล          แมวทุกตัวเป็นสัตว์ไม่ดุร้าย

สังกัป (concept) หมายถึง มโนคติหนึ่ง ๆ ที่มองในข้อความนั้น ๆ

ข้อความเชิงตรรก 1 ข้อความ ประกอบด้วยเทอม 2 เทอม คือ เทอมภาคประธานและเทอมภาคแสดง

เทอมที่ใช้แทนสังกัปหนึ่งๆ แบ่งออกได้ 2 ชนิด คือ เทอมกระจาย (Distributed term) เป็นเทอมที่มีความหมายกินความครบทุกหน่วยของสังกัป เช่น นักเรียนทุกคน

เทอมไม่กระจาย (Undistributed term) เป็นเทอมที่มีความหมายกินความไม่ครบทุกหน่วยของสังกัป โดยมีอย่างน้อยหนึ่งหน่วยขึ้นไป เช่น นักเรียนบางคน นักเรียนส่วนมาก เป็นต้น

พจน์ที่เป็นภาคแสดงในข้อยุติ เรียกว่า พจน์หลัก (major term) ส่วนพจน์ที่เป็นภาคประธานในข้อยุติเรียกว่า พจน์รอง (minor term) และพจน์ที่ปรากฏร่วมกันในข้อตั้งทั้งสอง เรียกว่า พจน์กลาง (middle term)

ข้อตั้งที่มีพจน์หลัก เรียกว่า ข้อตั้งหลัก (major promise) และข้อตั้งที่มีพจน์รองเรียกว่า   ข้อตั้งรอง (minor promise)

ตัวอย่างที่แสดงให้เห็นชัดเจน

 

 

 

 

สังเกตว่า ตรรกบทนี้ทั้งตรรกบท เป็นเทอมกระจายทั้งหมด

ข้อความเชิงตรรกะ มีค่าความจริง (truth values) ในตัวเอง คือมีค่าความจริงเป็นจริงหรือเท็จ อย่างใดอย่างหนึ่ง

 

การตรวจสอบความสมเหตุสมผล

ในการให้เหตุผลแบบนิรนัย รวมถึงจากตัวอย่าง จะเห็นว่า การยอมรับความรู้พื้นฐานหรือความจริงบางอย่างก่อน แล้วหาข้อสรุปจากสิ่งที่ยอมรับ ซึ่งจะเรียกว่า ผล การสรุปผลจะสรุปได้ถูกต้องก็ต่อเมื่อเป็นการสรุปได้อย่างสมเหตุสมผล (valid) เช่น

เหตุ        หมูอวกาศทุกตัวบินได้

โน๊ตบินได้

ผล          โน๊ตเป็นหมูอวกาศ

การสรุปในข้อนี้ไม่สมเหตุสมผล (invalid) แม้ว่าข้ออ้างทั้งสองจะเป็นจริง แต่การที่เราทราบว่า หมูอวกาศบินได้ ก็ไม่ได้หมายความว่าสิ่งอื่นที่บินได้ต้องเป็นหมูอวกาศเสมอไปข้อสรุปดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล

 

สรุป  การให้เหตุผลแบบนิรนัย ผลหรือข้อสรุปจะถูกต้องก็ต่อเมื่อ ยอมรับเหตุเป็นจริงทุกข้อ และการสรุปสมเหตุสมผล

การตรวจสอบข้อความว่าสมเหตุสมผลนั้น สามารถทำได้หลายวิธี ในที่นี้ จะนำเสนอ

อยู่ 2 วิธี คือ การใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ในการตรวจสอบ และการใช้ความสัมพันธ์ระหว่างข้อความตรวจสอบ

 

1. การใช้แผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

เราจะวาดแผนภาพตามสมมติฐานที่เป็นไปได้ แล้วพิจารณาว่าแผนภาพแต่ละกรณีแสดงผลสรุปตามที่สรุปไว้หรือไม่ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด แสดงว่าสมเหตุสมผล  ถ้ามีแผนภาพที่ไม่แสดงผลตามที่สรุปไว้ การสรุปนั้นไม่สมเหตุสมผล โดยจะใช้การอ้างเหตุผลโดยตรรกบทของตรรกศาสตร์เข้ามาตรวจสอบ

 

 

 

 

 

 

ข้อความที่ใช้อ้างเหตุผลมีอยู่ 4 แบบหลัก ๆ (ข้อ 1-4) และอีก 2 แบบเพิ่มเติม (ข้อ 5-6)

 

ข้อความ

แผนภาพ

 

 

 

1. สมาชิกทุกตัวของ A เป็นสมาชิกของ B

 

 

 

 

 

2. ไม่มีสมาชิกตัวใดของ A เป็นสมาชิกของ B

 

 

 

 

 

3. มีสมาชิกของ A บางตัวเป็นสมาชิกของ B

 

 

4. สมาชิกของ A บางตัวไม่เป็นสมาชิกของ B

 

 

 

 

 

5. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัว ที่เป็นสมาชิกของ B

 

 

 

 

 

6. มีสมาชิกของ A หนึ่งตัว ที่ไม่เป็นสมาชิกของ B

 

 

 

ในการใช้แผนภาพเพื่อตรวจสอบความสมเหตุสมผล จะต้องวาดแผนภาพตามเหตุผลหรือสมมติฐานทุกกรณีที่เป็นไปได้ ถ้าทุกกรณีแสดงผลตามที่กำหนด จะได้ว่า ข้อสรุปนั้น สมเหตุสมผล แต่ถ้ามีบางกรณีที่ไม่สอดคล้องกับผลสรุป  แล้ว ผลสรุปนั้นจะไม่สมเหตุผมผล

 

ตัวอย่างที่ 1   จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         เด็กไทยทุกคนเป็นคนดี

เจ้าจุกเป็นคนไทย

ผล           เจ้าจุกเป็นคนดี

เขียนแผนภาพเวนน์-ออยเลอร์ได้ดังนี้

ดังนั้น ข้อสรุปที่กล่าวว่าเจ้าจุกเป็นคนดี สมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 2   จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         นักกีฬาทุกคนมีสุขภาพดี

ตุ๊กตาสุขภาพดี

ผล           ตุ๊กตาเป็นนักกีฬา

กำหนดให้            H             แทนเซตของคนที่มีสุขภาพดี

S             แทนเซตของนักกีฬา

เขียนแผนภาพแทนนักกีฬาทุกคนที่มีสุขภาพดีได้ดังนี้

 

เขียนแผนภาพเพื่อแสดงว่า ตุ๊กตามีสุขภาพดีได้ดังนี้

 

จากแผนภาพ มีกรณีที่ตุ๊กตาไม่ได้เป็นนักกีฬา แต่มีสุขภาพดี ดังนั้น ผลที่ได้ไม่สมเหตุสมผล

 

ตัวอย่างที่ 3 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         ผลไม้บางชนิดเปรี้ยว

สิ่งที่เปรี้ยวทำให้ปวดท้อง

ผล           ผลไม้บางชนิดทำให้ปวดท้อง

 

 

 

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ได้ดังนี้

 

สังเกตดูทั้ง 2 กรณี มีผลไม้ที่เป็นสาเหตุของการปวดท้องจริง ดังนั้น การให้เหตุผลนี้สมเหตุสมผล

 

ตัวอย่างที่ 4 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         คนดีบางคนเป็นคนยากจน

คนยากจนทุกคนมีน้ำใจ

ผล           คนดีบางคนมีน้ำใจ

เขียนแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ได้ดังนี้

จากการตรวจสอบดู พบว่า ข้อสรุปนี้สมเหตุสมผล

 

ในบางครั้ง ความรู้พื้นฐานที่นำมาอ้าง เราอาจไม่ทราบว่าเป็นจริงหรือไม่ แต่ถ้ายอมรับว่าเป็นจริงตามสมมติฐานที่ตั้งไว้แล้วได้ผลสรุปที่สมเหตุสมผล ผลสรุปที่ได้ไม่จำเป็นต้องเป็นความจริงทางโลกเสมอไป เช่น

ตัวอย่างที่ 5   จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         ถ้ามีสิ่งมีชีวิตบนดาวพระเคราะห์แล้ว ดาวพระเคราะห์จะต้องมีน้ำ

มีสิ่งมีชีวิตบนดาวพระเคราะห์ อาลาบาม่า

ผล           ดาวพระเคราะห์อาลาบาม่า มีน้ำ

จากแผนภาพ เราจะได้ว่า ดาวอาลาบาม่ามีน้ำ สมเหตุสมผล แต่เราไม่ทราบว่าตาม

ความจริงแล้ว ดาวนี้มีน้ำจริงหรือเปล่า

 

ตัวอย่างที่ 6 จงพิจารณาข้อความต่อไปนี้ว่าสมเหตุสมผลหรือไม่

เหตุ         นกทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก

เป็ดทุกตัวเป็นสัตว์มีปีก

ผล           นกทุกตัวเป็นเป็ดชนิดหนึ่ง

 

จาก 4 กรณีข้างต้น จะเห็นว่า นกและเป็ดต่างก็เป็นสัตว์ปีก แต่เราสรุปไม่ได้ แน่นอนว่า นกเป็นเป็ดชนิดหนึ่งดังนั้น ข้อสรุปนี้ไม่สมเหตุสมผล

 

 

แบบฝึกหัดที่ 5

จงใช้แผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์ ตรวจสอบความสมเหตุสมผลของข้อความต่อไปนี้

1.             เหตุ         โดยธรรมดาแล้ว ผู้ชายชอบจีบสาว

แจ๋วชอบจีบสาว

ผล           แจ๋วเป็นผู้ชาย

2.             เหตุ         วัวมี 4 ขา

หมูไม่เป็นวัว

ผล           หมูไม่มี 4 ขา

3.             เหตุ         นักเรียนทุกคนชอบสีฟ้า

นักเรียนบางคนชอบสีขาว

ผล           นักเรียนที่ชอบสีขาวบางคนชอบสีฟ้า

4.             เหตุ         ชาวนาบางคนเป็นเศรษฐี

เศรษฐีบางคนเป็นคนดี

ผล           เศรษฐีบางคนไม่เป็นชาวนาและไม่เป็นคนดี

5.             เหตุ         จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

ผล           จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

6.             เหตุ         จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวทุกจำนวนเป็นจำนวนคู่

7 หารด้วย 2 ลงตัว

ผล           7 เป็นจำนวนคู่

7.             เหตุ         ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดที่หารด้วย 2 ลงตัว

21 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว

ผล           21 เป็นจำนวนเฉพาะ

8.             เหตุ         ดาวบางดวงไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

สัตว์บางตัวไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

ผล           สัตว์บางตัวไม่ใช่ดาว

 

 

9.             เหตุ         แมวทุกตัวมี 4 ขา

ไม่มีสัตว์สี่ขาใด ๆ มีมือ

ผล           แมวทุกตัวไม่มีมือ

10.          เหตุ         คนทำดีบางคนไม่ได้ดี

คนได้ดีทุกคนร่ำรวย

ผล           คนทำดีบางคนไม่ร่ำรวย

จะสรุปผลที่สมเหตุสมผลจากสมมติฐานในข้อ 11 – 15 ได้หรือไม่ ถ้าได้ จงสรุป

11.          เหตุ         นักเรียนทุกคนต้องอ่านหนังสือ

คนอ่านหนังสือบางคนสอบตก

12.          เหตุ         นักเรียนทุกคนต้องอ่านหนังสือ

คนอ่านหนังสือทุกคนสอบได้

13.          เหตุ         ดอกไม้บางชนิดมีกลิ่นหอม

สิ่งที่มีกลิ่นหอมบางชนิดมีราคาแพง

14.          เหตุ         นกทุกชนิดเป็นสัตว์เลือดอุ่น

สัตว์เลือดอุ่นบางชนิดไม่อยู่ในน้ำ

15.          เหตุ         ครูทุกคนเป็นคนใจดี

ไม่มีคนใจดีคนใดเป็นคนดุร้าย

 

   การใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ ในการตรวจสอบความสมเหตุสมผล

นอกจากการใช้ความสัมพันธ์ของแผนภาพเวนน์ – ออยเลอร์แล้ว เรายังสามารถใช้ความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ของข้อความตรรกบทในการพิจาณาความสมเหตุสมผลได้ ได้ใช้กฏเกณฑ์ต่าง ๆ ดังนี้

1. ตรรกบทที่ถูกต้อง สมเหตุสมผล จะมีพจน์กลางกระจาย (หรือกินความหมายครบทุกหน่วย) อย่างน้อยหนึ่งครั้ง เพราะพจน์กลางเป็นตัวช่วยให้โยงหาความสัมพันธ์ระหว่างพจน์หลักและพจน์รอง เช่น

ตัวอย่างที่ 1          เหตุ         จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

π เป็นจำนวนอตรรกยะ

ผล      π เป็นจำนวนจริง

พจน์กลาง คือ จำนวนอตรรกยะ กระจายในข้อตั้งแรก ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 2          เหตุ         คนไทยทุกคนเป็นผู้ที่ยิ้มแย้มแจ่มใส

ชาวปากซันเป็นคนยิ้มแย้มแจ่มใส

ผล           ชาวปากซันเป็นคนไทย

พจน์กลาง คือ คนยิ้มแย้มแจ่มใส เป็นพจน์ไม่กระจาย ตรรกบทดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล

2. ตรรกบทที่สมเหตุสมผล พจน์ที่กระจายในข้อยุติจะต้องกระจายในข้อตั้ง เพราะจะสรุปพจน์นั้นได้อย่างทั่วถึง ก็ต่อเมื่อ พจน์ดังกล่าวต้องกระจายครอบคลุมทั้งหมดมาก่อน เช่น

ตัวอย่างที่ 3          เหตุ         จำนวนตรรกยะทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนตรรกยะ

ผล           จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

พจน์รอง คือ จำนวนเต็ม กระจายในข้อยุติ และกระจายในข้อตั้ง ตรรกบท ดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล

ตัวอย่างที่ 4          เหตุ         ผู้ที่สำเร็จการศึกษาทุกคนเป็นบัณฑิต

ผู้ที่สำเร็จการศึกษาทุกคนเป็นผู้มีเหตุผล

ผล           ผู้มีเหตุผลทุกคนเป็นบัณฑิต

พจน์รอง คือ ผู้มีเหตุผล กระจายในข้อยุติแต่ไม่กระจายในข้อตั้ง ตรรกบทดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล

3. ตรรกบทที่ข้อตั้งทั้งสองเป็นข้อความเชิงปฏิเสธ จะไม่สามารถสรุปข้อยุติได้ เพราะการที่

ข้อตั้งทั้งสองเป็นข้อความปฏิเสธ แสดงว่า พจน์หลักและพจน์รองต่างไม่เกี่ยวกันกับพจน์กลาง จึงไม่สามารถบอกความเกี่ยวข้องระหว่างพจน์หลักกับพจน์รองนั้น เช่น

ตัวอย่างที่ 5          เหตุ         จำนวนเต็มทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

ผล           จำนวนเต็มทุกจำนวนไม่เป็นจำนวนตรรกยะ

ข้อความทั้งสองต่างก็เป็นข้อความปฏิเสธ ตรรกบทดังกล่าวจึงไม่สมเหตุสมผล

4. ตรรกบทที่สมเหตุสมผล ถ้ามีข้อตั้งทั้งสองเป็นข้อความยืนยัน ข้อยุติต้องเป็นข้อความยืนยัน เพราะเมื่อข้อตั้งทั้งสองเป็นข้อความยืนยัน แสดงว่า พจน์หลักกับพจน์กลางต้องรวมอยู่ด้วยกัน และพจน์รองกับพจน์กลางต้องอยู่รวมกัน ดังนั้น ข้อยุติต้องแสดงถึงการอยู่ร่วมกันของพจน์หลักและพจน์รองนั้น นั่นคือ ข้อยุติต้องเป็นข้อความยืนยันด้วย เช่น

ตัวอย่างที่ 6          เหตุ         สิ่งมีชีวิตทุกชนิดต้องการอาหาร

แบคทีเรียเป็นสิ่งมีชีวิต

ผล           แบคทีเรียต้องการอาหาร

ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล

5. ตรรกบทที่สมเหตุสมผล ถ้ามีข้อตั้งหนึ่งเป็นข้อความปฏิเสธแล้ว ข้อยุติต้องเป็นข้อความปฏิเสธ กรณีที่ข้อตั้งหนึ่งเป็นข้อความปฏิเสธและอีกข้อความหนึ่งเป็นข้อความยืนยันแสดงว่า พจน์หลักหรือพจน์รองในข้อตั้งข้อหนึ่งข้อใด ต้องไม่เกี่ยวข้องกับพจน์กลาง ดังนั้น ข้อยุติจะต้องเป็นข้อความที่พจน์หลัก และพจน์รองต้องแยกออกจากกัน หรือเป็นข้อความปฏิเสธนั่นเอง

ตัวอย่างที่ 7          เหตุ         1. จำนวนอตรรกยะทุกจำนวนไม่สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์

2.   2 สามารถเขียนในรูปเศษส่วนของจำนวนเต็ม โดยที่ตัวส่วนไม่เป็นศูนย์ผล 2 ไม่เป็นจำนวนอตรรกยะ

ตรรกบทดังกล่าวจึงสมเหตุสมผล

สำหรับการอ้างเหตุผลที่มีข้อตั้งหลาย ๆ ข้อ อาจตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้แผนภาพ หรือพิจารณาจากความสัมพันธ์ระหว่างพจน์ อาจทำได้ไม่สะดวก หรือไม่ครบถ้วน จึงมีการพิจารณาโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ ซึ่งได้มีการพัฒนาไปอย่างกว้างขวางและมีการกำหนดสัญลักษณ์แทนข้อความ เพื่อขจัดความกำกวมของภาษา ซึ่งใช้ได้ในกรณีทั่วไป ที่เรียกว่า ตรรกศาสตร์สัญลักษณ์ (Symbolic Logic) หรือ คณิตตรรกศาสตร์ (Mathematical Logic) ซึ่งเป็นตรรกศาสตร์แผนปัจจุบัน ซึ่งตรรกศาสตร์ จะกล่าวไว้ในโอกาสต่อไป

 

แบบฝึกหัดที่ 6

จากข้อความที่กำหนดให้

1. จงหาข้อตั้งหลัก ข้อตั้งรอง พจน์หลัก พจน์รอง และพจน์กลางของตรรกบท

2. จงตรวจสอบความสมเหตุสมผลโดยใช้ความสัมพันธ์ระหว่างข้อความ

1.             เหตุ         โดยธรรมดาแล้ว ผู้ชายชอบจีบสาว

แจ๋วชอบจีบสาว

ผล           แจ๋วเป็นผู้ชาย

2.             เหตุ         วัวมี 4 ขา

หมูไม่เป็นวัว

ผล           หมูไม่มี 4 ขา

3.             เหตุ         นักเรียนทุกคนชอบสีฟ้า

นักเรียนบางคนชอบสีขาว

ผล           นักเรียนที่ชอบสีขาวบางคนชอบสีฟ้า

4.             เหตุ         ชาวนาบางคนเป็นเศรษฐี

เศรษฐีบางคนเป็นคนดี

ผล           เศรษฐีบางคนไม่เป็นชาวนาและไม่เป็นคนดี

5.             เหตุ         จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนเต็ม

จำนวนเต็มทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

ผล           จำนวนนับทุกจำนวนเป็นจำนวนจริง

 

6.             เหตุ         จำนวนที่หารด้วย 2 ลงตัวทุกจำนวนเป็นจำนวนคู่

7 หารด้วย 2 ลงตัว

ผล           7 เป็นจำนวนคู่

7.             เหตุ         ไม่มีจำนวนเฉพาะตัวใดที่หารด้วย 2 ลงตัว

21 หารด้วย 2 ไม่ลงตัว

ผล           21 เป็นจำนวนเฉพาะ

8.             เหตุ         ดาวบางดวงไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

สัตว์บางตัวไม่มีแสงสว่างในตัวเอง

ผล           สัตว์บางตัวไม่ใช่ดาว

9.             เหตุ         แมวทุกตัวมี 4 ขา

ไม่มีสัตว์สี่ขาใด ๆ มีมือ

ผล           แมวทุกตัวไม่มีมือ

10.          เหตุ         คนทำดีบางคนไม่ได้ดี

คนได้ดีทุกคนร่ำรวย

ผล           คนทำดีบางคนไม่ร่ำรวย

 

 

 

 

 

 

 

 

สรุปผลการศึกษา

                พบว่า 

                แนวการจัดการเรียนการสอนคณิตศาสตร์  วิธีการเรียนรู้คณิตศาสตร์ในเรื่องการให้เหตุผลเป็นสิ่งสำคัญในการพัฒนาการเรียนรู้คณิตศาสตร์อย่างต่อเนื่อง  เพราะในชีวิตประจำวันเราต้องใช้เหตุผลในการตัดสินใจในเรื่องใดเรื่องหนึ่งหรือหลายเรื่องเป็นประจำอยู่แล้ว  การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์ได้พัฒนาทักษะการคิดคำนวณและพัฒนากระบวนการแก้ปัญหาโดยใช้เหตุผลได้บ้าง

                ทักษะกระบวนการทางคณิตศาสตร์ในเรื่องการให้เหตุผลเป็นพื้นฐานสำคัญของวิชาคณิตศาสตร์  เราไม่สามารถจะเรียนคณิตศาสตร์ให้ได้ดีเพียงแค่จำเนื้อหาสาระและทำความเข้าใจกับปัญหาเท่านั้น  ผู้เรียนจะต้องหมั่นฝึกฝนตนเองให้มีการพัฒนาทักษะกระบวนการหลัก  5  ทักษะนี้ด้วย

                1. ทักษะการคิดคำนวณและการแก้ปัญหา

2. การให้เหตุผล

3. ทักษะการเชื่อมโยงความรู้คณิตศาสตร์

4. ทักษะการสื่อสาร  สื่อความหมาย  และการนำเสนอ

5. ความคิดริเริ่มสร้างสรรค์ 

                การให้เหตุผลทางคณิตศาสตร์นี้จะสามารถนำไปพัฒนาทักษะกระบวนการให้เหตุผลอย่างถูกต้องได้โดยการใช้ความคิด  ตรึกตรองอย่างรอบคอบแล้วเราจะสามารถให้เหตุผลสิ่งต่าง ๆ ได้  ในการคิดเพื่อให้เหตุผลในครั้งหนึ่งๆ  อาจได้พัฒนาทักษะกระบวนการไปพร้อม ๆ กันหลายทักษะ  ซึ่งหมายถึงได้พัฒนาทักษะพื้นฐานอื่นๆ  อีกด้วย  เช่น  ทักษะการสังเกต  การคาดคะเน  และการประมาณ  เป็นต้น

โดยภาครวมได้ว่า

1. ทำให้มีความรู้ความเข้าใจเกี่ยวกับการให้เหตุผลมากขึ้น

2. สามารถนำความรู้ที่ได้มาประยุกต์ใช้ในชีวิตประจำวันได้

3. สามารถนำความรู้ที่ได้มาแก้ปัญหาในวิชาคณิตศาสตร์ได้

 

 

 

 

 

 

บรรณานุกรม

http://www.geocities.com/m4351t1/

http://202.143.151.76:801/learnsquare/courses/58/math.ppt#264,9,Slide%209

 

คณะทำงาน

1.นางสาวกชกร   วีรวิทย์พร                             ม.6/1 เลขที่ 5

                2.นางสาวกัลยรัตน์            ยิงรัมย์                   ม.6/1 เลขที่ 7

                3.นางสาวชนากานต์          ตาลวงษ์                ม.6/1 เลขที่ 10

                4.นางสาวภัสราภรณ์          ศรแก้ว                   ม.6/1 เลขที่ 18

                5.นางสาวสุวารี   แก้วบุบผา                             ม.6/1 เลขที่ 42